Sample Mathematica Programs

McKay's bivariate gamma Models

Mckay'bivariate distribution

f[x_,y_] :=c^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))  x^((Subscript[α, 1])-1) (y-x)^((Subscript[α, 2])-1) Exp[-c y]/(Gamma[(Subscript[α, 1])] Gamma[(Subscript[α, 2])])

f[x,y]

Integrate[f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

The marginal functions:

fX=Integrate[f[x,y],{y,x,∞}]

(((c^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) (x^(-1+(Subscript[α, 1]))) ((c^(-(Subscript[α, 2]))) (E^(-c x)) Gamma[(Subscript[α, 2])]))/(Gamma[(Subscript[α, 1])] Gamma[(Subscript[α, 2])]))//PowerExpand//FullSimplify

fY=Integrate[f[x,y],{x,0,y}]

(((c^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) (E^(-c y)) ((((y^(-1+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) Gamma[(Subscript[α, 1])] Gamma[(Subscript[α, 2])])/(Gamma[(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])]))))/(Gamma[(Subscript[α, 1])] Gamma[(Subscript[α, 2])]))//PowerExpand//FullSimplify

(((c^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) (E^(-c y)) (y^(-1+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))))/(Gamma[(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])]))

Covariance and correlation:

E[x y] =Integrate[x y f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]

E[x]=Integrate[x f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]

E[y]=Integrate[y f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]

(Subscript[σ, 12])=E[x y]-E[x] E[y]//PowerExpand//FullSimplify

E[x^2]=Integrate[x^2 f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]

(Subscript[σ, 1])=E[x^2]-E[x]^2//PowerExpand//FullSimplify

E[y^2]=Integrate[y^2 f[x,y],{x,0,∞},{y,x,∞}]

(Subscript[σ, 2])=E[y^2]-E[y]^2//PowerExpand//FullSimplify

Corr(X,Y)=(Subscript[σ, 12])/(Sqrt[(Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])])//PowerExpand//FullSimplify

Mckay's distribution in term of (Subscript[α, i]) ,(Subscript[σ, 12]) (i=1,2):

(Subscript[σ, 12])=.

m[x_,y_] :=((Sqrt[(Subscript[α, 1])/(Subscript[σ, 12])]))^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))  x^((Subscript[α, 1])-1) (y-x)^((Subscript[α, 2])-1) Exp[- (Sqrt[(Subscript[α, 1])/(Subscript[σ, 12])]) y]/(Gamma[(Subscript[α, 1])] Gamma[(Subscript[α, 2])])

m[x,y]

Likelihood Function

The Likelihood function:

L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])]=Log[m[x,y]]//PowerExpand//FullSimplify

The second dirivatives of the Likelihood function:

(Subscript[L, 11])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],{(Subscript[α, 1]),2}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[L, 33])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],{(Subscript[α, 2]),2}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[L, 22])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],{(Subscript[σ, 12]),2}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[L, 12])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12])]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[L, 13])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[L, 23])=D[L[(Subscript[α, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])],(Subscript[σ, 12]),(Subscript[α, 2])]//PowerExpand//FullSimplify

Metric Tensor

(Subscript[g, 11])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 11]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[g, 13])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 13]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[g, 31])=-(1/(2 (Subscript[α, 1])))

(Subscript[g, 23])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 23]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[g, 32])=(1/(2 (Subscript[σ, 12])))

(Subscript[g, 12])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 12]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[g, 21])=(((Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))/(4 (Subscript[α, 1]) (Subscript[σ, 12])))

(Subscript[g, 22])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 22]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[g, 33])=Integrate[- m[x,y] (Subscript[L, 33]),{x,0,∞},{y,x,∞}]//PowerExpand//FullSimplify

t={{(Subscript[g, 11]),(Subscript[g, 12]),(Subscript[g, 13])},{(Subscript[g, 21]),(Subscript[g, 22]),(Subscript[g, 23])},{(Subscript[g, 31]),(Subscript[g, 32]),(Subscript[g, 33])}}

MatrixForm[%]

The inverse of the metric:

(Overscript[t, -1])=Inverse[t]//PowerExpand//FullSimplify

t.(Overscript[t, -1])//PowerExpand//FullSimplify

(Overscript[g, 11])=-((-1+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))/(PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))))

(Overscript[g, 12])=(Overscript[g, 21])=(((1+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))) (Subscript[σ, 12]))/((Subscript[α, 1]) (PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))))

(Overscript[g, 13])=(Overscript[g, 31])=-(1/(PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))))

(Overscript[g, 22])=-(((-1+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1]) (-3+4 PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] (Subscript[α, 1]))+(Subscript[α, 2]))) (Subscript[σ, 12]^2))/((Subscript[α, 1]^2) (PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))))

(Overscript[g, 23])=(Overscript[g, 32])=(((-1+2 PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] (Subscript[α, 1])) (Subscript[σ, 12]))/((Subscript[α, 1]) (PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))))

(Overscript[g, 33])=-((-1+PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))/(PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])]+PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])]-PolyGamma[1,(Subscript[α, 1])] PolyGamma[1,(Subscript[α, 2])] ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))))

The first derivatives of the metric components :

(Overscript[x, 1])=(Subscript[α, 1])

(Overscript[x, 2])=(Subscript[σ, 12])

(Overscript[x, 3])=(Subscript[α, 2])

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 32])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 21])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 31])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 21])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 31])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 32])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])//PowerExpand//FullSimplify

Christoffel Symbols(Subscript[(Overscript[Γ, i]), jk])=(∑_(h=1)^3)1/2 (Overscript[ g, ih])((∂_(Overscript[x, k])) (Subscript[g, jh])+(∂_(Overscript[x, j])) (Subscript[g, kh])-(∂_(Overscript[x, h])) (Subscript[g, jk]))

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])=(1/2 )( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])=
(1/2) ( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 2])) Ï(Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 13])=(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 31])=(1/2 ) ( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 13])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 13])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 13])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])=(1/2) ( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 23])=(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 32])=(1/2) ( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 32])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 23])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 23])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 23])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 33])=(1/2) ( (Overscript[g, 11])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 12])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 13])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])=(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 21])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 13])=(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 31])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 13])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 13])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 13])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 23])=(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 32])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 23])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 23])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 23])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 33])=(1/2) ( (Overscript[g, 21])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 22])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 23])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 31])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 12])=(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 12]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 32])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 12])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 12])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 12])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 13])=(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 31])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 11])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 21])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 31])+(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 13])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 13])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 13])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 31])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 23])=(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 32])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1]))(Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 23]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 23])=(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 23])=(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 23])=(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 32])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 22])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 12])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 22]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])+(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 32])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 22])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 22])//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 33])=(1/2) ( (Overscript[g, 31])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 13])-(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 32])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 23])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[g, 33]))+(Overscript[g, 33])((∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])+(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])-(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[g, 33])))//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

(∂_(Overscript[x, 3])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 33])//PowerExpand//FullSimplify

Curvature Tensor :  (Subscript[R, ijkm])=(∑_(h=1)^3)(Subscript[g, hm])((∂_(Overscript[x, i])) (Subscript[(Overscript[Γ, h]), jk])-(∂_(Overscript[x, j])) (Subscript[(Overscript[Γ, h]), ik])+(Subscript[(Overscript[Γ, h]), im]) (Subscript[(Overscript[Γ, m]), jk])-(Subscript[(Overscript[Γ, h]), jm]) (Subscript[(Overscript[Γ, m]), ik]))

(Subscript[r, 1211])=(Subscript[g, 11])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]))+(Subscript[g, 21])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]))+(Subscript[g, 31])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]))//PowerExpand//FullSimplify

(Subscript[r, 1212])=(Subscript[g, 12])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))+(Subscript[g, 22])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))+(Subscript[g, 32])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 3]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))//PowerExpand//FullSimplify