Univariate normal distributions:

f(x_)=((E^(-((((x-μ))^2)/(2  (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ)) ;

TeXForm[%]

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞) f(x)\[DifferentialD]x,{σ >0}]

MatrixForm[Outer[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)-f(x) Simplify[(((∂^2)log(f(x)))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]x,{σ >0}]&,{μ ,σ  },{μ ,σ  }]]

Inverse[(({{(1/(σ^2)), 0}, {0, (2/(σ^2))}}))]//MatrixForm

The metric :

(Overscript[x, 1])=μ ;

(Overscript[x, 2])=σ;

(Subscript[g, 11])=(1/(σ^2));

(Subscript[g, 22])=(2/(σ^2));

(Subscript[g, 12])=(Subscript[g, 21])=0;

B

(Overscript[g, 22])=(((\[Sigm])^2)/2);

(Overscript[g, 12])=(Overscript[g, 21])=0;

Christoffel Symbols(Subscript[(Overscript[Γ, i]), jk])=(∑_(h=1)^3)1/2 (Overscript[ g, ih])((∂_(Overscript[x, k])) (Subscript[g, jh])+(∂_(Overscript[x, j])) (Subscript[g, kh])-(∂_(Overscript[x, h])) (Subscript[g, jk]))

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))+((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))-((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 11])+(-((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 12]))]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 1])))-((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 11])+(-((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 12]))]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))-((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 11])+(((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))-((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))) (Overscript[g, 12]))]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))+((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))-((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 21])+(-((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 22]))]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])=(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 1])))-((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 21])+(-((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 21]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 22]))]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])=FullSimplify[PowerExpand[(1/2) ((((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 12]))/(∂(Overscript[x, 2])))-((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 1])))) (Overscript[g, 21])+(((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))-((∂(Subscript[g, 22]))/(∂(Overscript[x, 2])))) (Overscript[g, 22]))]]

Curvature Tensor :  (Subscript[R, ijkm])=(∑_(h=1)^3)(Subscript[g, hm])((∂_(Overscript[x, i])) (Subscript[(Overscript[Γ, h]), jk])-(∂_(Overscript[x, j])) (Subscript[(Overscript[Γ, h]), ik])+(Subscript[(Overscript[Γ, h]), im]) (Subscript[(Overscript[Γ, m]), jk])-(Subscript[(Overscript[Γ, h]), jm]) (Subscript[(Overscript[Γ, m]), ik]))

(Subscript[R, 1212])=FullSimplify[PowerExpand[(Subscript[g, 12]) (-((∂(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]))+(Subscript[g, 22]) (-((∂(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))/(∂(Overscript[x, 2])))+((∂(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]))/(∂(Overscript[x, 1])))-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]))]]

(Subscript[R, 2121])=(Subscript[R, 1212])

(Subscript[R, 2112])=-(Subscript[R, 1212])

(Subscript[R, 1221])=-(Subscript[R, 1212])

(Subscript[R, 2222])=(Subscript[R, 1111])=(Subscript[R, 1112])=(Subscript[R, 1211])=(Subscript[R, 1121])=(Subscript[R, 2111])=(Subscript[R, 1122])=(Subscript[R, 2211])=(Subscript[R, 1222])=(Subscript[R, 2212])=(Subscript[R, 2122])=(Subscript[R, 2221])=0

The sectional curvatures (Subscript[ρ, λ μ])=((-((Subscript[R, ijkm])((Subscript[δ, λ])^i)((Subscript[δ, μ])^j)((Subscript[δ, λ])^k)((Subscript[δ, μ])^m)))/((((Subscript[g, ik])(Subscript[g, jm])-(Subscript[g, jk])(Subscript[g, im]))(((Subscript[δ, λ])^i)((Subscript[δ, μ])^j)((Subscript[δ, λ])^k)((Subscript[δ, μ])^m))))):

(Subscript[ρ, 12])=(Subscript[ρ, 21])=FullSimplify[PowerExpand[-((Subscript[R, 1212])/((Subscript[g, 11]) (Subscript[g, 22])-(Subscript[g, 12]^2)))]]

The Ricci tensor R=[(Subscript[R, jk])],where (Subscript[R, jk])=(Subscript[R, ijkm]) (Overscript[g, im]):

(Subscript[R, 11])=FullSimplify[PowerExpand[(Overscript[g, 11]) (Subscript[R, 1111])+(Overscript[g, 12]) (Subscript[R, 1112])+(Overscript[g, 21]) (Subscript[R, 2111])+(Overscript[g, 22]) (Subscript[R, 2112])]]

(Subscript[R, 12])=FullSimplify[PowerExpand[(Overscript[g, 11]) (Subscript[R, 1121])+(Overscript[g, 12]) (Subscript[R, 1122])+(Overscript[g, 21]) (Subscript[R, 2121])+(Overscript[g, 22]) (Subscript[R, 2122])]]

(Subscript[R, 22])=FullSimplify[PowerExpand[(Overscript[g, 11]) (Subscript[R, 1221])+(Overscript[g, 12]) (Subscript[R, 1222])+(Overscript[g, 21]) (Subscript[R, 2221])+(Overscript[g, 22]) (Subscript[R, 2222])]]

The scalar curvature R=(Overscript[g, ij])  (Subscript[R, ij]):

R=FullSimplify[PowerExpand[(Overscript[g, 11]) (Subscript[R, 11])+(Overscript[g, 12]) (Subscript[R, 12])+(Overscript[g, 21]) (Subscript[R, 21])+(Overscript[g, 22]) (Subscript[R, 22])]]

Entropy:

FullSimplify[PowerExpand[ -f(x)  log(f(x))  , {σ >0}]]

FullSimplify[PowerExpand[-(((E^(-((((x-μ))^2)/(2 (σ^2))))) Log[((E^(-((((x-μ))^2)/(2 (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ))])/((Sqrt[2 π]) σ))]]

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)-f(x)   log(f(x))  \[DifferentialD]x,{σ >0}]

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)(((E^(-((((x-μ))^2)/(2 (σ^2))))) ((((x-μ))^2)+(σ^2) Log[2 π]+2 (σ^2) Log[σ]))/(2 (Sqrt[2 π]) (σ^3)))  \[DifferentialD]x,{σ >0}]

TeXForm[%]

Submanifold   μ=0:

f(x_)=((E^(-((((x))^2)/(2  (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ)) ;

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞) f(x)\[DifferentialD]x,{σ >0}]

MatrixForm[Outer[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)-f(x) Simplify[(((∂^2)log(f(x)))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]x,{σ >0}]&,{σ  },{σ  }]]

Submanifold   σ=1:

f(x_)=((E^(-((((x-μ))^2)/(2  ))))/((Sqrt[2 π]) )) ;

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞) f(x)\[DifferentialD]x]

MatrixForm[Outer[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)-f(x) Simplify[(((∂^2)log(f(x)))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]x,{σ >0}]&,{μ  },{μ  }]]

The natural coordinate system and potential function:

f(x_)=((E^(-((((x-μ))^2)/(2  (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ)) ;

FullSimplify[PowerExpand[log(f(x))]]

((( μ)/((σ^2) )))x +(-(1/(2  (σ^2))))(x^2)-(((μ^2)/(2 (σ^2)))+Log[(Sqrt[2 π ])  σ])

ψ=(((μ^2)/(2 (σ^2)))+Log[(Sqrt[2 π ])  σ]);

(Subscript[ξ, 1])=(( μ)/((σ^2) ));

(Subscript[ξ, 2])=-(1/(2  (σ^2)));

FullSimplify[PowerExpand[-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) ) -(((μ^2)/(2 (σ^2)))+Log[(Sqrt[2 π ])  σ] )]]

FullSimplify[PowerExpand[((E^(((Subscript[ξ, 1]))x +((Subscript[ξ, 2]))(x^2)-(-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) )))) ) -(((E^(-((((x-μ))^2)/(2  (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ))  )]]

The metric with respect to the natural coordiante system:

ψ=-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) ) ;

The mixture coordinate system :

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 1])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 2]) ∂(Subscript[ξ, 2])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 2])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 2]) ∂(Subscript[ξ, 1])))]

(({{-(1/(2 (Subscript[ξ, 2]))), ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))}, {((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))), ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))}}));

f(x_)=(E^(((Subscript[ξ, 1]))x +((Subscript[ξ, 2]))(x^2)-(-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) )) )) ;

MatrixForm[Outer[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)  -f(x) Simplify[(((∂^2)log(f(x)))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]x ,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]&,{(Subscript[ξ, 1]) ,(Subscript[ξ, 2])  },{(Subscript[ξ, 1]) ,(Subscript[ξ, 2])  }]]

The mixture coordinate system and potential function λ:

ψ=-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) ) ;

(Subscript[η, 1])= FullSimplify[((∂ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ))]

(Subscript[η, 2])=FullSimplify[((∂ψ)/(∂(Subscript[ξ, 2]) ))]

FullSimplify[(Subscript[ξ, 1]) (Subscript[η, 1])+(Subscript[ξ, 2]) (Subscript[η, 2])-ψ]

λ=-(1/2) (1+log( -(( π)/( (Subscript[ξ, 2]))) ) );

FullSimplify[(Subscript[ξ, 1]) (Subscript[η, 1])+(Subscript[ξ, 2]) (Subscript[η, 2])-ψ-λ]

The (α)-connections:

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), ij,k])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞) f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, i])  ∂(Overscript[x, j])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, i]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, j]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, k]) ))   \[DifferentialD]x,{σ >0}]

f(x_)=(E^(((Subscript[ξ, 1]))x +((Subscript[ξ, 2]))(x^2)-(-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) )) )) ;

(Subscript[g, 11])=-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])));

(Subscript[g, 12])=(Subscript[g, 21])=((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))) ;

(Subscript[g, 22])=((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3))) ;

(Overscript[x, 1]) =(Subscript[ξ, 1]) ;

(Overscript[x, 2]) =(Subscript[ξ, 2]) ;

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), ij,k])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, i])  ∂(Overscript[x, j])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, i]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, j]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, k]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,1])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1])  ∂(Overscript[x, 1])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,2])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1])  ∂(Overscript[x, 1])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,1])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1])  ∂(Overscript[x, 2])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,2])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1])  ∂(Overscript[x, 2])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,1])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2])  ∂(Overscript[x, 2])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 1]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,2])=FullSimplify[  (∫_(-∞)^∞)f(x) (  (((∂^2)log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2])  ∂(Overscript[x, 2])))+ (((1-α))/2)  (((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))) ( ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   ))    ((∂log(f(x)))/(∂(Overscript[x, 2]) ))   \[DifferentialD]x,{(Subscript[ξ, 2]) <0}]

Or we can use the potential function to obtain the  α-connections:

ψ=-(((Subscript[ξ, 1])^2)/(4  (Subscript[ξ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[ξ, 2])))]) ) ;

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), ij,k])=FullSimplify[(((1-α) )/(2 ))(((∂^3)ψ)/(∂(Subscript[ξ, i]) ∂(Subscript[ξ, j]) ∂(Subscript[ξ, k])))];

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,1])=FullSimplify[(((1-α) )/(2 ))(((∂^3)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 1])))]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,1])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 21,1])=FullSimplify[(((1-α) )/(2 ))(((∂^3)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 2])))]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 21,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,1])=FullSimplify[(((1-α) )/(2 ))(((∂^3)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 1]) ∂(Subscript[ξ, 2]) ∂(Subscript[ξ, 2])))]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,2])=FullSimplify[(((1-α) )/(2 ))(((∂^3)ψ)/(∂(Subscript[ξ, 2]) ∂(Subscript[ξ, 2]) ∂(Subscript[ξ, 2])))]

The results:

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,1])=0;

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 11,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,1])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 21,1])=-((-1+α)/(4 (Subscript[ξ, 2]^2)));

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 12,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 21,2])=(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,1])=(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)));

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, α]), 22,2])=-(((-1+α) (3 (Subscript[ξ, 1]^2)-2 (Subscript[ξ, 2])))/(4 (Subscript[ξ, 2]^4)));

TeXForm[%]

the metric:(({{-(1/(2 (Subscript[ξ, 2]))), ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))}, {((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))), ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))}}))

0==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])   + ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 11])

-((-1+α)/(4 (Subscript[ξ, 2]^2)))== ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+ ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])

Solve[{0==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])   + ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 11])   , -((-1+α)/(4 (Subscript[ξ, 2]^2)))== ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+ ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]) } ,{(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]),(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])}]

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])=-(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]))) ;

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])=((1-α)/2);

TeXForm[%]

-((-1+α)/(4 (Subscript[ξ, 2]^2)))==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])   +((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))    (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 12])

(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))==((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))   (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])+ ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])

FullSimplify[Solve[{-((-1+α)/(4 (Subscript[ξ, 2]^2)))==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])   +((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))    (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 12])   , (((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))==((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))   (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])+ ((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])} ,{(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12]),(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])}]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12])=(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])=(((-1+α) ((Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2])))/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))) ;

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12])=(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])=(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]))) ;

TeXForm[%]

(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))

(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])   +((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 22])

-(((-1+α) (3 (Subscript[ξ, 1]^2)-2 (Subscript[ξ, 2])))/(4 (Subscript[ξ, 2]^4)))== ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])+((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])

FullSimplify[Solve[{(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))==-(1/(2 (Subscript[ξ, 2])))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])   +((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]) , 22]) ,-(((-1+α) (3 (Subscript[ξ, 1]^2)-2 (Subscript[ξ, 2])))/(4 (Subscript[ξ, 2]^4)))== ((Subscript[ξ, 1])/(2 (Subscript[ξ, 2]^2)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])+((-(Subscript[ξ, 1]^2)+(Subscript[ξ, 2]))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3)))  (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])} ,{(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22]),(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])}]]

(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22])=-(((-1+α) (Subscript[ξ, 1]^3))/(2 (Subscript[ξ, 2]^3))) ;

TeXForm[%]

(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22])=-(((-1+α) ((Subscript[ξ, 1]^2)-2 (Subscript[ξ, 2])))/(2 (Subscript[ξ, 2]^2))) ;

TeXForm[%]

(Subscript[R, 1212])=FullSimplify[(Subscript[g, 12])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))+(Subscript[g, 22])  ((∂_(Overscript[x, 1])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(∂_(Overscript[x, 2])) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21]) (Subscript[(Overscript[Γ, 1]), 11])+(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 12]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 21])-(Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 22]) (Subscript[(Overscript[Γ, 2]), 11]))]

TeXForm[%]

here

FullSimplify[Solve[{(Subscript[θ, 1 ])==(((Subscript[σ, 2 ])  (Subscript[μ, 1])-(Subscript[σ, 12])   (Subscript[μ, 2]))/((Subscript[σ, 1 ]) (Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2))),(Subscript[θ, 2])==(((Subscript[σ, 1])   (Subscript[μ, 2])-(Subscript[σ, 12 ])  (Subscript[μ, 1]))/((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2))),(Subscript[θ, 3])==((-(Subscript[σ, 2]) )/(2((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2)))),(Subscript[θ, 4])==(((Subscript[σ, 12 ]) )/((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2))),(Subscript[θ, 5])==((-(Subscript[σ, 1]))/(2((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2))))},{ (Subscript[μ, 1]), (Subscript[μ, 2]),(Subscript[σ, 1]),(Subscript[σ, 12]),(Subscript[σ, 2])}]]

(Subscript[μ, 1])=((2 (Subscript[θ, 1]) (Subscript[θ, 5])-(Subscript[θ, 2]) (Subscript[θ, 4]))/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])));

(Subscript[μ, 2])=((2 (Subscript[θ, 2]) (Subscript[θ, 3])-(Subscript[θ, 1]) (Subscript[θ, 4]))/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])));

(Subscript[σ, 1])=((2 (Subscript[θ, 5]))/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])));

(Subscript[σ, 2])=((2 (Subscript[θ, 3]))/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])));

(Subscript[σ, 12])=((Subscript[θ, 4])/(4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])-(Subscript[θ, 4]^2)));

FullSimplify[log(2 π (Sqrt[((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2))])) +(1/(2 ((Subscript[σ, 1 ])(Subscript[σ, 2 ])-(Subscript[σ, 12]^2)) ))((Subscript[σ, 2 ])  ((Subscript[μ, 1])^2)+(Subscript[σ, 1 ])  ((Subscript[μ, 2])^2)-2 (Subscript[σ, 12 ]) (Subscript[μ, 1]) (Subscript[μ, 2]))]

ψ=(((Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 2]^2)-(Subscript[θ, 1]) (Subscript[θ, 4]) (Subscript[θ, 2])+log(2 π (Sqrt[(1/(4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])-(Subscript[θ, 4]^2)))])) (Subscript[θ, 4]^2)+((Subscript[θ, 1]^2)-2 (log(-(4/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5]))))+2 log(π)) (Subscript[θ, 3])) (Subscript[θ, 5]))/((Subscript[θ, 4]^2)-4 (Subscript[θ, 3]) (Subscript[θ, 5])));

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 1]) ∂(Subscript[θ, 1])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 2]) ∂(Subscript[θ, 2])))

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 3])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 4])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 5])))]

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 1]) ∂(Subscript[θ, 2])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 2]) ∂(Subscript[θ, 1])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 1]) ∂(Subscript[θ, 3])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 1])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 1]) ∂(Subscript[θ, 4])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 1])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 1]) ∂(Subscript[θ, 5])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 1])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 2]) ∂(Subscript[θ, 3])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 2])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 2]) ∂(Subscript[θ, 4])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 2])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 2]) ∂(Subscript[θ, 5])))

(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 2])))

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 4])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 3])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 3])))-(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 4])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 5])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 3])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 3])))-(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 3]) ∂(Subscript[θ, 5])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 5])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 4])))]

FullSimplify[(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 4]) ∂(Subscript[θ, 5])))-(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[θ, 5]) ∂(Subscript[θ, 4])))]