Freund 4-manifold and information geometry

Using Mathematica we have derived the  information geometry of the 4-manifold F of Freund bivariate mixture exponential distributions, which admits positive and negative covariance.  The α-connection and the α-curvature objects are derived for Fand those on four submanifolds, including the special case ACBED of Block and Basu. The Freund manifold has a constant 0-scalar curvature, so geometrically it constitutes part of a pseudosphere. We provide examples of neighbourhoods of the independent case for  bivariate distributions having identical exponential marginals and zero covariance;  here we use Mathematica to illustrate these neighbourhoods.

1  Differential geometry of the Freund 4-manifold F

1.1  Freund bivariate mixture exponential distributions

The Freund  bivariate exponential mixture distribution of X and Y is given by :

f(x,y)={({{ (Subscript[α, 1])(Subscript[α, 4]) (e^(-(Subscript[α, 4])y-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4]))x    ))for  0<x<y}, { (Subscript[α, 3])(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 2]))y    ))for  0<y<x}})

where (Subscript[α, i ])>0  (i=1,2,3,4).

Define the functions (Subscript[f, 1]) and (Subscript[f, 2]) as follows:

(Subscript[f, 1])=(Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 4]) (E^(-(Subscript[α, 4])y-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4]))x    ));

and

(Subscript[f, 2])=(Subscript[α, 2]) (Subscript[α, 3]) (E^(-(Subscript[α, 2])x-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 2]))y    ));

Provided that (Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])≠(Subscript[α, 2]), the marginal density function of X is, from Freund,

(Subscript[f, X])(x)=(((Subscript[α, 3])/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 2]))))(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x))+((((Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 2])))) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))(e^(-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))x)),x≥0

and provided that (Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])≠(Subscript[α, 4]), the marginal density function of Y is

(Subscript[f, Y])(y) =(((Subscript[α, 1])/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4]))))(Subscript[α, 4])(e^(-(Subscript[α, 4])y))+((((Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4]))/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4])))) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))(e^(-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))y)),y≥0

We can see that the marginal density functions are in general not exponential but rather mixtures of exponential distributions if  (Subscript[α, i ])>(Subscript[α, i +1])   (i=1,3) otherwise, they are weighted averages.  For this reason this system of distributions should be termed bivariate mixture exponential distributions rather than simply bivariate exponential distributions.  The marginal functions (Subscript[f, X])(x) and (Subscript[f, Y])(y) are exponential distributions only in the special case  (Subscript[α, i])=(Subscript[α, i+1])   (i=1,3).

The covariance and correlation coefficient of X and Y were derived by Freund, as follows:

Cov(X,Y)=(((Subscript[α, 2]) (Subscript[α, 4])-(Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/((Subscript[α, 2]) (((Subscript[α, 4])((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),

ρ(X,Y)=(((Subscript[α, 2]) (Subscript[α, 4])-(Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(Sqrt[((Subscript[α, 1]^2)+2 (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3])+(Subscript[α, 4]^2))((Subscript[α, 3]^2)+2(Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3])+(Subscript[α, 2]^2)) ])).

Note that in general ((-1)/3)<ρ(X,Y)<1.  The correlation coefficient ρ(X,Y)->1when  (Subscript[α, 2]), (Subscript[α, 4])->∞, and ρ(X,Y)->((-1)/3)when (Subscript[α, 1])= (Subscript[α, 3]) and  (Subscript[α, 2]), (Subscript[α, 4])->0.  In many applications, (Subscript[α, i +1]) >(Subscript[α, i ])  (i=1,3) ( i.e., lifetime tends to be shorter when the other component is out of action); in such cases the correlation is positive.

1.2  Fisher information metric

Proposition 1.1 Let F be the set of Freund bivariate mixture exponential distributions, that is

F={f:f(x,y;(Subscript[α, i]))={({{ (Subscript[α, 1])(Subscript[α, 4]) (e^(-(Subscript[α, 4])y-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 4]))x    ))for  0<x<y}, { (Subscript[α, 3])(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x-((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])-(Subscript[α, 2]))y    ))for  0<y<x}}) , (i=1,2,3,4)}

Then we have:

1- Identifying ((Subscript[α, 1 ]),(Subscript[α, 2]) ,(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4]) ) as a local coordinate system, F can be regarded as a 4-manifold.

2- F is a Riemannian space and the Fisher information matrix G=[(Subscript[g, ij])] where
             
          (Subscript[g, ij])=(∫_0^∞)(∫_0^∞)-(((∂^2)log f)/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j]))). f  dxdy , (i=1,2,3,4).

is given by:

g=Outer[FullSimplify[(∫_0^∞)(∫_x^∞)-(Subscript[f, 1]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 1])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+
(∫_0^∞)(∫_0^x)-(Subscript[f, 2]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 2])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,
{(Subscript[α, 1])>0,(Subscript[α, 2])>0,(Subscript[α, 3])>0,(Subscript[α, 4])>0}]&,{(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]),(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])},{(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]),(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])}]

1.3  α-geometry

In this section we provide the α-connection, and various α-curvature objects of the Freund 4-manifold F: the α-curvature tensor, the α-sectional curvatures, the α-mean curvatures, the α-Ricci tensor and the α-scalar curvature.

1.3.1  α-Connection :

Proposition 1.2 The functions (Subscript[Γ, ij,k]^((α))), (i,j,k=1,2,3,4) are given by:

(Overscript[Γ, α])=FullSimplify[Table[(∫_0^∞)(∫_x^∞)(Subscript[f, 1]) Simplify[(1/2) (1-α) ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, i]))) ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, j])))+(((∂^2)log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j])))] ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, k])))\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+(∫_0^∞)(∫_0^x)(Subscript[f, 2]) Simplify[(1/2) (1-α) ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, i]))) ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, j])))+(((∂^2)log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j])))] ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, k])))\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,{i,4},{j,4},{k,4}]];

For example the component (Subscript[Γ, 11,1]^((α)))is given by :

(Overscript[Γ, α])[[1,1,1]]

Proposition 1.3 By solving the equations  (Subscript[Γ, ij,k]^((α)))=(∑_(h=1)^4)(Subscript[g, kh]) (Subscript[Γ, ij]^h),(k=1,2,3,4) 
 we obtain the components of (∇^((α))), as follows :

Table[FullSimplify[Solve[(Overscript[Γ, α])[[i,j,1]]==(∑_(h=1)^4)g[[1,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j)∧(Overscript[Γ, α])[[i,j,2]]==(∑_(h=1)^4)g[[2,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j)∧(Overscript[Γ, α])[[i,j,3]]==(∑_(h=1)^4)g[[3,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j)∧(Overscript[Γ, α])[[i,j,4]]==(∑_(h=1)^4)g[[4,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j),{(Overscript[Γ, 1])(i,j),(Overscript[Γ, 2])(i,j),(Overscript[Γ, 3])(i,j),(Overscript[Γ, 4])(i,j)}]],{i,4},{j,4}];

So we obtain :

(Overscript[Γ, 1])=(({{(1/2) (((3 α-1)/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))-((α+1)/(Subscript[α, 1]))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, (((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, (((α+1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, 0, 0, -(((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}));

(Overscript[Γ, 2])=(({{0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), ((α-1)/(Subscript[α, 2])), -(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, -(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}));

(Overscript[Γ, 3])=(({{(((α+1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, -(((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, (1/2) (((3 α-1)/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))-((α+1)/(Subscript[α, 3]))), 0}, {0, 0, 0, (((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}));

(Overscript[Γ, 4])=(({{0, 0, 0, -(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))))}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))))}, {-(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), ((α-1)/(Subscript[α, 4]))}}));

1.3.2  α-Curvatures :

Proposition 1.4 The components of the α-curvature tensor (Subscript[R, ijkl]^((α)))=(Subscript[g, hl]) ((∂_(Subscript[α, k]))(Subscript[Γ, jk]^h)-(∂_(Subscript[α, j]))(Subscript[Γ, ik]^h)+(Subscript[Γ, im]^h) (Subscript[Γ, jk]^m)-(Subscript[Γ, jm]^h) (Subscript[Γ, ik]^m)),  (i,j,k,l=1,2,3,4) are given by:

(Overscript[R, α])=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^4)g[[h,l]] Simplify[-((∂(Overscript[Γ, h])[[i,k]])/(∂(Subscript[α, j])))+((∂(Overscript[Γ, h])[[j,k]])/(∂(Subscript[α, i])))+(∑_(m=1)^4)Simplify[(Overscript[Γ, h])[[i,m]] (Overscript[Γ, m])[[j,k]]-(Overscript[Γ, h])[[j,m]] (Overscript[Γ, m])[[i,k]]]],{i,4},{j,4},{k,4},{l,4}]];

Since the analytical expression for the curvature tensor is very large, we report the components (Subscript[R, ijkl]^((α))) as follows :

FullSimplify[{(Overscript[R, α])[[1,2,1,2]],(Overscript[R, α])[[1,2,2,3]],(Overscript[R, α])[[1,4,1,4]],(Overscript[R, α])[[1,4,3,4]],(Overscript[R, α])[[2,3,2,3]],(Overscript[R, α])[[2,4,2,4]],(Overscript[R, α])[[3,4,3,4]]}]

while the other independent components are zero.

Proposition 1.5 The α-sectional curvatures 
(ϱ^((α)))(i,j) =-((Subscript[R, ijij]^((α)))/(((Subscript[g, ii])(Subscript[g, jj])-((Subscript[g, ij])^2)))) , (i,j=1,2,3,4) are given by :

(Overscript[ϱ, α])=FullSimplify[Table[If[i==j,0,-(((Overscript[R, α])[[i,j,i,j]])/(g[[i,i]] g[[j,j]]-((g[[i,j]])^2)))],{i,4},{j,4}]]

Proposition 1.6 The α-mean curvatures 
(ϱ^((α)))(i)=(1/3)(∑_(j=1,j≠i)^4)(ϱ^((α)))(i,j) ,(i=1,2,3,4) are given by :

(Overscript[ϱ, α])=FullSimplify[Table[(∑_(j=1)^4)(1/3) (Overscript[ϱ, α])[[i,j]],{i,4}]]

Contracting (Subscript[R, ijkl]^((α))) with (g^il) we obtain the components (Subscript[R, jk]^((α))) of the Ricci tensor.

Proposition 1.7 The components of the α-Ricci tensor are given by the symmetric matrix (R^((α)))=[(Subscript[R, jk]^((α)))]:

(Overscript[R, α])=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,l]] (Overscript[R, α])[[i,j,k,l]],{j,4},{k,4}]]

The α-eigenvalues and the α-eigenvectors of the α-Ricci tensor are given by :

FullSimplify[Eigenvalues[(Overscript[R, α])]]

FullSimplify[Eigenvectors[(Overscript[R, α])]]

Proposition 1.8 The manifold F has a constant α-scalar curvature (R^((α)))=(g^ij)(Subscript[R, ij]^((α))).

(Overscript[R, α])=FullSimplify[(∑_(j=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,j]] (Overscript[R, α])[[i,j]]]

Note that the Freund manifold F has a positive constant scalar curvature (R^((0)))=(3/2) when α=0.  So geometrically 
it constitutes part of a sphere.

2  Submanifolds of the Freund 4-manifold F

We consider four submanifolds (Subscript[F, i])  (i=1,2,3,4) of the 4-manifold F  of Freund bivariate exponential distributions (1) f(x,y;(Subscript[α, 1 ]),(Subscript[α, 2 ]) ,(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])), which includes the case of statistically independent random variables. It includes also the special case of an Absolutely Continuous Bivariate Exponential Distribution called ACBED (or ACBVE) by Block and Basu. We use the coordinate system  ((Subscript[α, 1 ]),(Subscript[α, 2 ]) ,(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])) for the submanifolds (Subscript[F, i])  (i≠4), and the coordinate system ((Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 12]),(Subscript[λ, 2]))for ACBED of the Block and Basu case.

2.2  Submanifold  (Subscript[F, 2]) ⊂ F : (Subscript[α, 3])=(Subscript[α, 1]) and  (Subscript[α, 4])=(Subscript[α, 2])

The distributions are of form:

f(x,y)={({{ (Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2]) (e^(-(Subscript[α, 2])y-(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))x    ))for  0<x<y}, { (Subscript[α, 1])(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x-(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))y    ))for  0<y<x}})

with parameters  (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])>0.  The covariance, correlation coefficient and marginal functions, of X and Y are given by:

Cov(X,Y)=(1/4)((1/((Subscript[α, 1])^2))-(1/((Subscript[α, 2])^2))),

ρ(X,Y)=1-((4((Subscript[α, 1])^2))/(3((Subscript[α, 1])^2)+((Subscript[α, 2])^2))),

(Subscript[f, X])(x)=(((Subscript[α, 1])/(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))))(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x))+((((Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))/(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2])))) (2(Subscript[α, 1]))(e^(-2(Subscript[α, 1])x)),x≥0

(Subscript[f, X])(x)=(((Subscript[α, 1])/(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))))(Subscript[α, 2])(e^(-(Subscript[α, 2])x))+((((Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2]))/(2(Subscript[α, 1])-(Subscript[α, 2])))) (2(Subscript[α, 1]))(e^(-2(Subscript[α, 1])x)),x≥0

Note that ρ(X,Y)=0 when (Subscript[α, 1])=(Subscript[α, 2]).

Note that  (Subscript[F, 2]) forms an exponential family, with natural parameters ((Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])) and potential function

ψ=-log((Subscript[α, 1]))-log((Subscript[α, 2]));

Proposition 2.4 The submanifold (Subscript[F, 2]) is an isometric diffeomorph of the submanifold (Subscript[F, 1]).
Proof: Since ψ is a potential function, the Fisher information metric is given by Hessian of ψ, that is

(Subscript[g, ij])=(((∂^2)ψ)/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j]))) , (i=1,2).

Then, we have the Fisher information metric (10) by a straightfoward calculation.

2.2.1  Mutually dual foliations :

Since (Subscript[∇, (∂_i)]^((1)))(∂_j)=0,  ((Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])) is a 1-affine coordinate system, and the (-1)-affine coordinate system
is given by :

η=Outer[FullSimplify[((∂ψ)/(∂#1)),{(Subscript[α, 1])>0,(Subscript[α, 2])>0}]&,{(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])}]

These coordinates have potential function :

ϕ=FullSimplify[(∑_(i=1)^2)η[[i]] (Subscript[α, i])-ψ]

So the coordinates ((Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])) and (-(1/(Subscript[α, 1])),-(1/(Subscript[α, 2]))) are mutually dual with respect to the Fisher metric, and the tetrad  {(Subscript[F, 2]),g,(∇^((1))) ,(∇^((-1)))} is a dually flat space.  Therefore (Subscript[F, 2]) has dually orthogonal foliations.  For example: take ((Subscript[α, 1]),(Subscript[η, 2])) as a coordinate system for (Subscript[F, 2]); then

f(x,y)={({{ -((Subscript[α, 1])/(Subscript[η, 2])) (e^(((1/(Subscript[η, 2])))y-(2(Subscript[α, 1])+(1/(Subscript[η, 2])))x    ))for  0<x<y}, { -((Subscript[α, 1])/(Subscript[η, 2]))(e^(((1/(Subscript[η, 2])))x-(2(Subscript[α, 1])+(1/(Subscript[η, 2])))y    ))for  0<y<x}})

and the Fisher information metric is :

(({{-(1/(Subscript[α, 1]^2)), 0}, {0, (1/((((Subscript[η, 2])))^2))}}))

2.2.2  Neighbourhoods of independence in  (Subscript[F, 2])

An important practical application of the Freund submanifold (Subscript[F, 2]) is the representation of a bivariate stochastic process for which the marginals are identical exponentials. The next result is important because it provides a topological neighbourhood of  that subspace W in (Subscript[F, 2]) consisting of the bivariate processes that have zero covariance: we obtain a neighbourhood of independence for random (ie exponentially distributed) processes.

Proposition 2.5  Let  {(Subscript[F, 2]),g,(∇^((1))) ,(∇^((-1)))} be the manifold  (Subscript[F, 2])  with Fisher metric g and exponential connection (∇^((1))).  Then  (Subscript[F, 2]) can be realized
in ((ℝ )^3) by the graph of a potential function, namely,  (Subscript[F, 2]) can be realized by the affine immersion {h,ξ}:

h: (Subscript[F, 2]) ->((ℝ )^3):(({{(Subscript[α, 1])}, {(Subscript[α, 2])}}))↦(({{(Subscript[α, 1])}, {(Subscript[α, 2])}, {ψ}})) ,    ξ  =(({{0}, {0}, {1}}))

where ψ=-log((Subscript[α, 1]))-log((Subscript[α, 2])) and  ξ is the transversal vector field along  h .

In (Subscript[F, 2]) , the submanifold W consisting of the independent case ((Subscript[α, 1])=(Subscript[α, 2])) is represented by the curve:

(0,∞)->((ℝ )^3):((Subscript[α, 1]))↦((Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 1]),-2log((Subscript[α, 1]))) ,    ξ  =(0,0,1)

This is illustrated in the graphics which show  S, an affine embedding of (Subscript[F, 2]) as a surface in ((ℝ )^3) , and  T an ((ℝ )^3)-tubular neighbourhood of W, the curve (Subscript[α, 1])=(Subscript[α, 2])in the surface. This curve represents all bivariate distributions having identical exponential marginals and zero covariance; its tubular neighbourhood represents departures from independence. We parametrize here with a=(Subscript[α, 1]),b=(Subscript[α, 2]).

S=ParametricPlot3D[Evaluate[{a,b,-log(a)-log(b)}],
{a,0.00001,5},{b,0.00001,5},ViewPoint->{3,2,1},
BoxRatios->{1,1,1}, AxesLabel->{a,b,Ψ(a,b)}];
T=ParametricPlot3D[{a-((0.6  Cos[theta])/((Sqrt[1+(a^2)])  )),a-0.6  Sin[theta],
-((0.6  a  Cos[theta])/((Sqrt[1+(a^2)]) ))-2 Log[a]}//Evaluate,{a,0.00001,5},
{theta,0,2Pi},PlotPoints->{20,20},ViewPoint->{3,2,1},
BoxRatios->{1,1,1}, AxesLabel->{a,b,Ψ(a,b)}];Show[S,T];

2.4  Submanifold  (Subscript[F, 4]) ⊂ F : ACBED of Block and Basu

The distributions are of form:

f(x,y;(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 12]),(Subscript[λ, 2]))={({{(((Subscript[λ, 1])λ((Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 12])))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]))) (e^(-(Subscript[λ, 1])x-((Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 12]))y    ))for  0<x<y}, {(((Subscript[λ, 2])λ((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 12])))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])))(e^(-((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 12]))x-(Subscript[λ, 2])y    ))for  0<y<x}})

where the parameters (Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 12]),(Subscript[λ, 2]) are positive, and λ=(Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 12]).  This distribution was derived originally by omitting the singular part of Marshall and Olkin distribution; Block and Basu called it the ACBED to emphasize that they are absolutely continuous part of a bivariate exponential distributions.  Alternatively, it can be derived from the Freund distribution (1), with tion.  Alternatively, it can bederived by Freund's method (  ), with

(Subscript[α, 1])=(Subscript[λ, 1])+(((Subscript[λ, 1])(Subscript[λ, 12]))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]))),
   (Subscript[α, 2])=(Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 12]),
   (Subscript[α, 3])=(Subscript[λ, 2])+(((Subscript[λ, 2])(Subscript[λ, 12]))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]))),
   (Subscript[α, 4])=(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 12]).

Define the functions (Subscript[f, 1]) and (Subscript[f, 2]) as follows:

(Subscript[f, 1])=(((Subscript[λ, 1])((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3]))((Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3])))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]))) (E^(-(Subscript[λ, 1])x-((Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3]))y    ));

and

(Subscript[f, 2])=(((Subscript[λ, 2])((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])+(Subscript[λ, 3]))((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 3])))/((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])))(E^(-((Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 3]))x-(Subscript[λ, 2])y    ));

where  (Subscript[λ, 3])=(Subscript[λ, 12]).

Here we show how to calculate the Fisher metric, the Christoffel symbols and the  curvature objects, as follows:

The Fisher metric is:

g=Outer[FullSimplify[(∫_0^∞)(∫_x^∞)-(Subscript[f, 1]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 1])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+(∫_0^∞)(∫_0^x)-(Subscript[f, 2]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 2])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,{(Subscript[λ, 1])>0,(Subscript[λ, 2])>0,(Subscript[λ, 3])>0}]&,{(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),(Subscript[λ, 3])},{(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),(Subscript[λ, 3])}];

The Christoffel symbols are given by:

Γ=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^3)(1/2) (g^(-1))[[i,h]] Simplify[((∂g[[j,h]])/(∂(Subscript[λ, k])))-((∂g[[j,k]])/(∂(Subscript[λ, h])))+((∂g[[k,h]])/(∂(Subscript[λ, j])))],{i,3},{j,3},{k,3}]];

The curvature tensor:

R=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^3)g[[h,l]] Simplify[-((∂Γ[[h,i,k]])/(∂(Subscript[λ, j])))+((∂Γ[[h,j,k]])/(∂(Subscript[λ, i])))+(∑_(m=1)^3)Simplify[Γ[[h,i,m]] Γ[[m,j,k]]-Γ[[h,j,m]] Γ[[m,i,k]]]],{i,3},{j,3},{k,3},{l,3}]];

The Ricci tensor:

R=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^3)(∑_(i=1)^3)(g^(-1))[[i,l]] R[[i,j,k,l]],{j,3},{k,3}]];

The scalar curvature:

R=FullSimplify[(∑_(j=1)^3)(∑_(i=1)^3)(g^(-1))[[i,j]] R[[i,j]]];

Since the analytical expressions for the Fisher metric,the Christoffel symbols and the curvature objects very large,we do not report them here.