Alpha Geometry Gaussian

(1)Univariate normal distribution N(μ,(σ^2))with respect to the local coordinates (μ,σ):

f=((E^(-((((x-μ))^2)/(2  (σ^2)))))/((Sqrt[2 π]) σ)) ;

Dimension  M:

n=2 ;

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞) f \[DifferentialD]x,{σ >0}]

Fisher information g:

g=Outer[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)-f Simplify[(((∂^2)log(f))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]x,{σ>0}]&,{μ,σ},{μ,σ}]

The (α)-geometry:

(Subscript[α, 1])=μ;

(Subscript[α, 2])=σ;

1-The components (Subscript[Γ, ij,k]) :

(Overscript[Γ, α])=Table[FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)f Simplify[(1/2) (1-α) ((∂log(f))/(∂(Subscript[α, i]))) ((∂log(f))/(∂(Subscript[α, j])))+(((∂^2)log(f))/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j])))] ((∂log(f))/(∂(Subscript[α, k])))\[DifferentialD]x,{σ>0}],{i,n},{j,n},{k,n}]

2-The components (Subscript[(Overscript[Γ, k]), ij]) of an affine connection (∇^α):

Table[FullSimplify[Solve[(Overscript[Γ, α])[[i,j,1]]==(∑_(h=1)^n)g[[1,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j)∧(Overscript[Γ, α])[[i,j,2]]==(∑_(h=1)^n)g[[2,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j),{(Overscript[Γ, 1])(i,j),(Overscript[Γ, 2])(i,j)}]],{i,n},{j,n}]

(Overscript[Γ, 1])=(({{0, -((α+1)/σ)}, {-((α+1)/σ), 0}}));

(Overscript[Γ, 2])=(({{-((α-1)/(2 σ)), 0}, {0, -((2 α+1)/σ)}}));

3-Curvature tensor:

R=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^n)g[[h,l]] Simplify[-((∂(Overscript[Γ, h])[[i,k]])/(∂(Subscript[α, j])))+((∂(Overscript[Γ, h])[[j,k]])/(∂(Subscript[α, i])))+(∑_(m=1)^n)Simplify[(Overscript[Γ, h])[[i,m]] (Overscript[Γ, m])[[j,k]]-(Overscript[Γ, h])[[j,m]] (Overscript[Γ, m])[[i,k]]]],{i,n},{j,n},{k,n},{l,n}]]

4-Sectional curvature:

ϱ=FullSimplify[Table[If[i==j,0,-((R[[i,j,i,j]])/(g[[i,i]] g[[j,j]]-((g[[i,j]])^2)))],{i,n},{j,n}]]

5-Mean curvature:

(OverBar[ϱ])=FullSimplify[Table[(∑_(j=1)^n) ϱ[[i,j]],{i,n}]]

6-Ricci curvature:

R=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^n)(∑_(i=1)^n)(g^(-1))[[i,l]] R[[i,j,k,l]],{j,n},{k,n}]]

7-Scalar curvature:

R=FullSimplify[(∑_(j=1)^n)(∑_(i=1)^n)(g^(-1))[[i,j]] R[[i,j]]]

7-Gaussain curvature:

K=(R/2)

(2)Univariate normal distribution N(μ,(σ^2))with respect to the natural coordinates ((( μ)/((σ^2) )),((-1)/(2  (σ^2)))):

f=(E^(((Subscript[θ, 1]))x +((Subscript[θ, 2]))(x^2)-(-(((Subscript[θ, 1])^2)/(4  (Subscript[θ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[θ, 2])))]) )) ));

Dimension  M:

n=2 ;

FullSimplify[(∫_(-∞)^∞)f  \[DifferentialD]x,{(Subscript[θ, 2]) <0}]

Fisher information g:

ψ=-(((Subscript[θ, 1])^2)/(4  (Subscript[θ, 2])))+log((Sqrt[ -(( π)/( (Subscript[θ, 2])))]) ) ;

g=Outer[FullSimplify[Simplify[(((∂^2)ψ)/(∂#1 ∂#2))],{(Subscript[θ, 2])<0}]&,{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])},{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])}]

The (α)-geometry:

1-The components (Subscript[T, ijk]):

T=Outer[FullSimplify[(((∂^3)ψ)/(∂#1 ∂#2 ∂#3)),{(Subscript[θ, 2])<0}]&,{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])},{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])},{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])}]

1-The components (Subscript[Γ, ij,k]):

(Overscript[Γ, α])=Table[(1/2) (1-α) FullSimplify[T[[i,j,k]]],{i,n},{j,n},{k,n}]

1-The components (Overscript[(Subscript[Γ, ij]), k]) of an affine connection (∇^α):

Table[FullSimplify[Solve[{(Overscript[Γ, α])[[i,j,1]]==(∑_(h=1)^n)g[[1,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j),(Overscript[Γ, α])[[i,j,2]]==(∑_(h=1)^n)g[[2,h]] (Overscript[Γ, h])(i,j)},{(Overscript[Γ, 1])(i,j),(Overscript[Γ, 2])(i,j)}]],{i,n},{j,n}]

3-Curvature tensor:

R=FullSimplify[Table[(1/4) (1-(α^2)) Simplify[(∑_(p=1)^n)(∑_(m=1)^n)(T[[k,m,i]] T[[j,l,p]]-T[[k,m,j]] T[[i,l,p]])],{i,n},{j,n},{k,n},{l,n}]]

4-Sectional curvature:

ϱ=FullSimplify[Table[If[i==j,0,-((R[[i,j,i,j]])/(g[[i,i]] g[[j,j]]-((g[[i,j]])^2)))],{i,n},{j,n}]]

5-Mean curvature:

(OverBar[ϱ])=FullSimplify[Table[(∑_(j=1)^n) ϱ[[i,j]],{i,n}]]

6-Ricci curvature:

R=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^n)(∑_(i=1)^n)(g^(-1))[[i,l]] R[[i,j,k,l]],{j,n},{k,n}]]

7-Scalar curvature:

R=FullSimplify[(∑_(j=1)^n)(∑_(i=1)^n)(g^(-1))[[i,j]] R[[i,j]]]

7-Gaussain curvature:

K=(R/2)

The expectation coordiantes ((Subscript[η, i])):

η=Outer[FullSimplify[((∂ψ)/(∂#1)),{(Subscript[θ, 2])<0}]&,{(Subscript[θ, 1]),(Subscript[θ, 2])}]

ϕ=Simplify[-ψ+η[[1]] (Subscript[θ, 1])+η[[2]] (Subscript[θ, 2])]

ϕ=-(1/2)( 1+log(-(π/(Subscript[θ, 2]))) )

Here we want all the functions in terms of  μ and  σ:

(Subscript[θ, 1])=(( μ)/((σ^2) ));

(Subscript[θ, 2])=-(1/(2  (σ^2)));

Fisher information matrix g:

ψ=log((Sqrt[-(π/(Subscript[θ, 2]))]))-((Subscript[θ, 1]^2)/(4 (Subscript[θ, 2])))

g=FullSimplify[(({{-(1/(2 (Subscript[θ, 2]))), ((Subscript[θ, 1])/(2 (Subscript[θ, 2]^2)))}, {((Subscript[θ, 1])/(2 (Subscript[θ, 2]^2))), (((Subscript[θ, 2])-(Subscript[θ, 1]^2))/(2 (Subscript[θ, 2]^3)))}}))]

The (α)-geometry:

1-The components (Subscript[T, ijk]):

T=FullSimplify[MatrixForm[(({{{0,(1/(2 (Subscript[θ, 2]^2)))}, {(1/(2 (Subscript[θ, 2]^2))),-((Subscript[θ, 1])/(Subscript[θ, 2]^3))}}, {{(1/(2 (Subscript[θ, 2]^2))),-((Subscript[θ, 1])/(Subscript[θ, 2]^3))}, {-((Subscript[θ, 1])/(Subscript[θ, 2]^3)),((3 (Subscript[θ, 1]^2)-2 (Subscript[θ, 2]))/(2 (Subscript[θ, 2]^4)))}}})),TableDepth->2]]

1-The components (Subscript[Γ, ij,k]):

(Overscript[Γ, α])=FullSimplify[MatrixForm[(({{{0,((1-α)/(4 (Subscript[θ, 2]^2)))}, {((1-α)/(4 (Subscript[θ, 2]^2))),-(((1-α) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2]^3)))}}, {{((1-α)/(4 (Subscript[θ, 2]^2))),-(((1-α) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2]^3)))}, {-(((1-α) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2]^3))),(((1-α) (3 (Subscript[θ, 1]^2)-2 (Subscript[θ, 2])))/(4 (Subscript[θ, 2]^4)))}}})),TableDepth->2]]

1-The components (Overscript[(Subscript[Γ, ij]), k]) of an affine connection (∇^α):

FullSimplify[MatrixForm[(({{{{(Overscript[Γ, 1])(1,1)->-(((α-1) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2]))),(Overscript[Γ, 2])(1,1)->((1-α)/2)}}, {{(Overscript[Γ, 1])(1,2)->(((α-1) ((Subscript[θ, 1]^2)+(Subscript[θ, 2])))/(2 (Subscript[θ, 2]^2))),(Overscript[Γ, 2])(1,2)->(((α-1) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2])))}}}, {{{(Overscript[Γ, 1])(2,1)->(((α-1) ((Subscript[θ, 1]^2)+(Subscript[θ, 2])))/(2 (Subscript[θ, 2]^2))),(Overscript[Γ, 2])(2,1)->(((α-1) (Subscript[θ, 1]))/(2 (Subscript[θ, 2])))}}, {{(Overscript[Γ, 1])(2,2)->-(((α-1) (Subscript[θ, 1]^3))/(2 (Subscript[θ, 2]^3))),(Overscript[Γ, 2])(2,2)->-(((α-1) ((Subscript[θ, 1]^2)-2 (Subscript[θ, 2])))/(2 (Subscript[θ, 2]^2)))}}}})),TableDepth->2]]

3-Curvature tensor:

R=FullSimplify[MatrixForm[(({{(({{0, 0}, {0, 0}})), (({{0, ((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(16 (Subscript[θ, 2]^6)))}, {-((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(16 (Subscript[θ, 2]^6))), 0}}))}, {(({{0, -((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(16 (Subscript[θ, 2]^6)))}, {((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(16 (Subscript[θ, 2]^6))), 0}})), (({{0, 0}, {0, 0}}))}})),TableDepth->2]]

4-Sectional curvature:

ϱ=FullSimplify[(({{0, ((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(4 (Subscript[θ, 2]^3)))}, {((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(4 (Subscript[θ, 2]^3))), 0}}))]

5-Mean curvature:

(OverBar[ϱ])=FullSimplify[{((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(12 (Subscript[θ, 2]^3))),((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(12 (Subscript[θ, 2]^3)))}]

6-Ricci curvature:

R=FullSimplify[(({{-((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(8 (Subscript[θ, 2]^4))), ((((α^2)-1) (Subscript[θ, 1]) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(8 (Subscript[θ, 2]^5)))}, {((((α^2)-1) (Subscript[θ, 1]) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(8 (Subscript[θ, 2]^5))), ((((α^2)-1) ((Subscript[θ, 2])-(Subscript[θ, 1]^2)) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(8 (Subscript[θ, 2]^6)))}}))]

7-Scalar curvature:

R=FullSimplify[((((α^2)-1) (((((Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])))^2)+2 (Subscript[θ, 2])))/(2 (Subscript[θ, 2]^3)))]

7-Gaussain curvature:

K=FullSimplify[(R/2)]

The expectation coordiantes ((Subscript[η, i])):

η=FullSimplify[{-((Subscript[θ, 1])/(2 (Subscript[θ, 2]))),(((Subscript[θ, 1]^2)-2 (Subscript[θ, 2]))/(4 (Subscript[θ, 2]^2)))}]

ϕ=FullSimplify[-(1/2) (log(-(π/(Subscript[θ, 2])))+1)]