Alpha Geometry Freund

f(x_,y_)=If[0≤x<y,(Subscript[f, 1])(x,y),(Subscript[f, 2])(x,y)];

(Subscript[f, 1])=(Subscript[α, 1]) (Subscript[β, 2]) (E^(-x ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])-(Subscript[β, 2]))+y (-(Subscript[β, 2]))));

(Subscript[f, 2])=(Subscript[α, 2]) (Subscript[β, 1])  (E^(-y ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])-(Subscript[β, 1]))+x (-(Subscript[β, 1]))));

(Subscript[α, 3])=(Subscript[β, 1]);

(Subscript[α, 4])=(Subscript[β, 2]);

FullSimplify[(∫_0^∞)(∫_x^∞)(Subscript[f, 1])\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+(∫_0^∞)(∫_0^x)(Subscript[f, 2])\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,{(Subscript[α, 1])>0,(Subscript[α, 2])>0,(Subscript[α, 3])>0,(Subscript[α, 4])>0}]

g=Outer[FullSimplify[(∫_0^∞)(∫_x^∞)-(Subscript[f, 1]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 1])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+(∫_0^∞)(∫_0^x)-(Subscript[f, 2]) Simplify[(((∂^2)log((Subscript[f, 2])))/(∂#1 ∂#2))]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,{(Subscript[α, 1])>0,(Subscript[α, 2])>0,(Subscript[α, 3])>0,(Subscript[α, 4])>0}]&,{(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]),(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])},{(Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]),(Subscript[α, 3]),(Subscript[α, 4])}]

Γ=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^4)(1/2) (g^(-1))[[i,h]] Simplify[((∂g[[j,h]])/(∂(Subscript[α, k])))-((∂g[[j,k]])/(∂(Subscript[α, h])))+((∂g[[k,h]])/(∂(Subscript[α, j])))],{i,4},{j,4},{k,4}]]

R=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^4)g[[h,l]] Simplify[-((∂Γ[[h,i,k]])/(∂(Subscript[α, j])))+((∂Γ[[h,j,k]])/(∂(Subscript[α, i])))+(∑_(m=1)^4)Simplify[Γ[[h,i,m]] Γ[[m,j,k]]-Γ[[h,j,m]] Γ[[m,i,k]]]],{i,4},{j,4},{k,4},{l,4}]]

ϱ=FullSimplify[Table[If[i==j,0,-((R[[i,j,i,j]])/(g[[i,i]] g[[j,j]]-((g[[i,j]])^2)))],{i,4},{j,4}]]

(OverBar[ϱ])=FullSimplify[Table[(∑_(j=1)^4)(1/3) ϱ[[i,j]],{i,4}]]

R=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,l]] R[[i,j,k,l]],{j,4},{k,4}]]

FullSimplify[Eigenvalues[(({{((Subscript[α, 2])/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), -(1/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), 0, 0}, {-(1/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), ((Subscript[α, 1])/(2 (Subscript[α, 2]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), 0, 0}, {0, 0, ((Subscript[α, 2])/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (Subscript[β, 1]^2))), 0}, {0, 0, 0, ((Subscript[α, 1])/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (Subscript[β, 2]^2)))}}))]]

FullSimplify[Eigenvectors[(({{((Subscript[α, 2])/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), -(1/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), 0, 0}, {-(1/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), ((Subscript[α, 1])/(2 (Subscript[α, 2]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))^2))), 0, 0}, {0, 0, ((Subscript[α, 2])/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (Subscript[β, 1]^2))), 0}, {0, 0, 0, ((Subscript[α, 1])/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (Subscript[β, 2]^2)))}}))]]

R=FullSimplify[(∑_(j=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,j]] R[[i,j]]]

(α)-geometry:

(Subscript[α, 1])>0;

(Subscript[α, 2])>0;

(Subscript[α, 3])>0;

(Subscript[α, 4])>0;

(Subscript[β, 1])>0;

(Subscript[β, 2])>0;

(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])>0;

(α)-connection:

(Overscript[Γ, α])=FullSimplify[Table[(∫_0^∞)(∫_x^∞)(Subscript[f, 1]) Simplify[(1/2) (1-α) ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, i]))) ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, j])))+(((∂^2)log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j])))] ((∂log((Subscript[f, 1])))/(∂(Subscript[α, k])))\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x+(∫_0^∞)(∫_0^x)(Subscript[f, 2]) Simplify[(1/2) (1-α) ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, i]))) ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, j])))+(((∂^2)log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, i]) ∂(Subscript[α, j])))] ((∂log((Subscript[f, 2])))/(∂(Subscript[α, k])))\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x,{i,4},{j,4},{k,4}]]

(Overscript[Γ, α])=(({{{((2 (α-1) (Subscript[α, 1])-(α+1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,((α+1)/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0}, {0,(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,0}, {((α-1)/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,((α-1)/(2 (Subscript[α, 3]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0}, {0,0,0,-(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2)))}}, {{0,(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,0}, {(((α+1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),(((α-1) (Subscript[α, 3]))/((Subscript[α, 2]^3) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))),-(((α+1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0}, {0,-(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,0}, {0,0,0,0}}, {{((α-1)/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,((α-1)/(2 (Subscript[α, 3]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0}, {0,-(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,0}, {((α+1)/(2 (Subscript[α, 3]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0,((2 (α-1) (Subscript[α, 3])-(α+1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]^2) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))),0}, {0,0,0,(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2)))}}, {{0,0,0,-(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2)))}, {0,0,0,0}, {0,0,0,(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2)))}, {-(((α+1) (Subscript[α, 3]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2))),0,(((α+1) (Subscript[α, 1]))/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2) (Subscript[α, 4]^2))),(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^3)))}}}));

Table[FullSimplify[Solve[(Overscript[Γ, α])[[i,j,1]]==(∑_(h=1)^4)g[[1,h]] (Overscript[Γ, h])[i,j]&&(Overscript[Γ, α])[[i,j,2]]==(∑_(h=1)^4)g[[2,h]] (Overscript[Γ, h])[i,j]&&(Overscript[Γ, α])[[i,j,3]]==(∑_(h=1)^4)g[[3,h]] (Overscript[Γ, h])[i,j]&&(Overscript[Γ, α])[[i,j,4]]==(∑_(h=1)^4)g[[4,h]] (Overscript[Γ, h])[i,j],{(Overscript[Γ, 1])[i,j],(Overscript[Γ, 2])[i,j],(Overscript[Γ, 3])[i,j],(Overscript[Γ, 4])[i,j]}]],{i,4},{j,4}]

(Overscript[Γ, 1])=(({{(1/2) (((3 α-1)/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))-((α+1)/(Subscript[α, 1]))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, (((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, (((α+1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, 0, 0, -(((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}));

(Overscript[Γ, 2])=(({{0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), ((α-1)/(Subscript[α, 2])), -(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, -(((α-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}));

(Overscript[Γ, 3])=(({{(((α+1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0}, {0, -(((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, (1/2) (((3 α-1)/((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))-((α+1)/(Subscript[α, 3]))), 0}, {0, 0, 0, (((α+1) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 3]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}));

(Overscript[Γ, 4])=(({{0, 0, 0, -(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))))}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3]))))}, {-(((α-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, ((α-1)/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), ((α-1)/(Subscript[α, 4]))}}));

R=FullSimplify[Table[(∑_(h=1)^4)g[[h,l]] Simplify[-((∂(Overscript[Γ, h])[[i,k]])/(∂(Subscript[α, j])))+((∂(Overscript[Γ, h])[[j,k]])/(∂(Subscript[α, i])))+(∑_(m=1)^4)Simplify[(Overscript[Γ, h])[[i,m]] (Overscript[Γ, m])[[j,k]]-(Overscript[Γ, h])[[j,m]] (Overscript[Γ, m])[[i,k]]]],{i,4},{j,4},{k,4},{l,4}]]

R=FullSimplify[Table[(∑_(l=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,l]] R[[i,j,k,l]],{j,4},{k,4}]]

FullSimplify[Eigenvalues[(({{-((((α^2)-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0, (((α^2)-1)/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0}, {0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {(((α^2)-1)/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0}, {0, 0, 0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 1]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}))]]

FullSimplify[Eigenvectors[(({{-((((α^2)-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 1]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0, (((α^2)-1)/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0}, {0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 3]))/(2 (Subscript[α, 2]^2) ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))), 0, 0}, {(((α^2)-1)/(2 ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 1]))/(2 (Subscript[α, 3]) ((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])))^2))), 0}, {0, 0, 0, -((((α^2)-1) (Subscript[α, 1]))/(2 ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 3])) (Subscript[α, 4]^2)))}}))]]

R=FullSimplify[(∑_(j=1)^4)(∑_(i=1)^4)(g^(-1))[[i,j]] R[[i,j]]]